什么是拓撲優(yōu)化設(shè)計？

拓撲優(yōu)化設(shè)計是在給定材料品質(zhì)和設(shè)計域內(nèi)，通過優(yōu)化設(shè)計方法可得到滿足約束條件又使目標函數(shù)最優(yōu)的結(jié)構(gòu)布局形式及構(gòu)件尺寸。

圖1 擺臂拓撲優(yōu)化的設(shè)計與非設(shè)計區(qū)域

圖2 施加載荷及邊界條件的擺臂有限元模型

自1988 年Bendsoe與Kikuchi提出基于均勻化方法的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計基本理論以來，近二十幾年間結(jié)構(gòu)拓撲設(shè)計研究得到深入和廣泛的研究，已成為國際工程結(jié)構(gòu)與產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計領(lǐng)域的熱點。

目前，拓撲設(shè)計理論在增材制造結(jié)構(gòu)設(shè)計中得到了廣泛的應用。

目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)有四大領(lǐng)域

• 尺寸優(yōu)化( sizing optimization)
• 形狀優(yōu)化(shape optimization)
• 拓撲與布局優(yōu)化(topology optimization)
• 結(jié)構(gòu)類型優(yōu)化
  

拓撲優(yōu)化設(shè)計的流程

目前主要的拓撲優(yōu)化方法

1. 均質(zhì)化方法(homogenization method)均質(zhì)化方法是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究中應用較廣的一種物理描述方法。Bendsoe與Kikuchi于1988年提出基于均質(zhì)化方法的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計基本理論。

其基本思想是在拓撲結(jié)構(gòu)的材料中引入上圖所示微結(jié)構(gòu)。實體材料所占的面積可用以下表達式來表示：

單元的密度函數(shù)為：

式中：0 ≤a≤1，0≤b≤1，Ω是設(shè)計區(qū)域，Ωs是實體區(qū)域，ρs是材料的密度，其設(shè)計參數(shù)有a、b和該微結(jié)構(gòu)的方向角θ。
主要應用領(lǐng)域：目前均勻化方法研究范圍主要涉及多工況平面問題、三維連續(xù)體問題、振動問題、熱彈性問題、屈曲問題、三維殼體問題、薄殼結(jié)構(gòu)問題和復合材料拓撲優(yōu)化等方面的問題。

2. 相對密度法(artificial materials)
相對密度法是一種常用的拓撲優(yōu)化方法，基本思想是不引入微結(jié)構(gòu)，而是引入一種假想的相對密度在0～1之間可變的材料。它吸取了均勻化方法中的經(jīng)驗和成果，直接假定設(shè)計材料的宏觀彈性常量與其密度的非線性關(guān)系。其中應用得比較多的模型是SIMP(solid isot ropic microst ructure with penalization)法。

其基于最小柔度的優(yōu)化模型如下：

設(shè)材料模型為：

則拓撲優(yōu)化模型為：

式中：ρ0和E0分別是均質(zhì)實體的密度和彈性，xe是單元的相對密度，p是懲罰因子；U、F是分別是位移矢量、力矢量，K是總體剛度矩陣，Ue是單元位移矢量，Ke是單元剛度矩陣，N是單元總數(shù)，f是體積系數(shù)。
優(yōu)化時以單元的相對密度xe為拓撲設(shè)計變量，這樣結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題被轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。
3. 進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法( evolutionary structural optimization)

進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化法是由Xie和Steven提出的，其起源于應力設(shè)計技術(shù)，認為在設(shè)計域內(nèi)，在結(jié)構(gòu)上不起作用的材料，即那些低應力或低應變能量密度的材料是低效的，可以去除的。材料的去除可以通過改變作為應力或應變能量密度函數(shù)的彈性模量或直接刪去那些低應力或低應變能量密度的材料空間。通過將無效或低效的材料一步步去掉，剩下的結(jié)構(gòu)將逐漸趨于優(yōu)化。

進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法是一種能夠同時刪除和增加材料的進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，即在刪除低效材料的同時增補高應力區(qū)域周圍材料，初始設(shè)計的區(qū)域可以比較小，從而提高了計算的效率。
拓撲優(yōu)化的求解方法

• 優(yōu)化準則法(optimality criteria)
• 序列線性規(guī)劃法(SLP：sequential linear programming)
• 移動漸進線法(MMA：method of moving asymptotes)
  

拓撲優(yōu)化中的數(shù)值不穩(wěn)定問題(1) 棋盤格式問題：所謂棋盤格式,是指優(yōu)化過程中材質(zhì)密度周期性高低分布的一種現(xiàn)象。
(2) 網(wǎng)格依賴性問題：網(wǎng)格依賴性是指隨著結(jié)構(gòu)所劃分的單元的數(shù)量改變，所得的優(yōu)化結(jié)果也跟著變化，即經(jīng)常出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)拓撲不具有唯一性。
(3) 局部極值問題：當選取不同初值時，可能導致其優(yōu)化結(jié)果收斂于不同的局部極值點。

本文來源網(wǎng)絡，作者彼岸花

什么是拓撲優(yōu)化設(shè)計？

拓撲優(yōu)化設(shè)計是在給定材料品質(zhì)和設(shè)計域內(nèi)，通過優(yōu)化設(shè)計方法可得到滿足約束條件又使目標函數(shù)最優(yōu)的結(jié)構(gòu)布局形式及構(gòu)件尺寸。

圖1 擺臂拓撲優(yōu)化的設(shè)計與非設(shè)計區(qū)域

圖2 施加載荷及邊界條件的擺臂有限元模型

自1988 年Bendsoe與Kikuchi提出基于均勻化方法的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計基本理論以來，近二十幾年間結(jié)構(gòu)拓撲設(shè)計研究得到深入和廣泛的研究，已成為國際工程結(jié)構(gòu)與產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計領(lǐng)域的熱點。

目前，拓撲設(shè)計理論在增材制造結(jié)構(gòu)設(shè)計中得到了廣泛的應用。

目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)有四大領(lǐng)域

• 尺寸優(yōu)化( sizing optimization)
• 形狀優(yōu)化(shape optimization)
• 拓撲與布局優(yōu)化(topology optimization)
• 結(jié)構(gòu)類型優(yōu)化
  

拓撲優(yōu)化設(shè)計的流程

目前主要的拓撲優(yōu)化方法

1. 均質(zhì)化方法(homogenization method)均質(zhì)化方法是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究中應用較廣的一種物理描述方法。Bendsoe與Kikuchi于1988年提出基于均質(zhì)化方法的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計基本理論。

其基本思想是在拓撲結(jié)構(gòu)的材料中引入上圖所示微結(jié)構(gòu)。實體材料所占的面積可用以下表達式來表示：

單元的密度函數(shù)為：

式中：0 ≤a≤1，0≤b≤1，Ω是設(shè)計區(qū)域，Ωs是實體區(qū)域，ρs是材料的密度，其設(shè)計參數(shù)有a、b和該微結(jié)構(gòu)的方向角θ。
主要應用領(lǐng)域：目前均勻化方法研究范圍主要涉及多工況平面問題、三維連續(xù)體問題、振動問題、熱彈性問題、屈曲問題、三維殼體問題、薄殼結(jié)構(gòu)問題和復合材料拓撲優(yōu)化等方面的問題。

2. 相對密度法(artificial materials)
相對密度法是一種常用的拓撲優(yōu)化方法，基本思想是不引入微結(jié)構(gòu)，而是引入一種假想的相對密度在0～1之間可變的材料。它吸取了均勻化方法中的經(jīng)驗和成果，直接假定設(shè)計材料的宏觀彈性常量與其密度的非線性關(guān)系。其中應用得比較多的模型是SIMP(solid isot ropic microst ructure with penalization)法。

其基于最小柔度的優(yōu)化模型如下：

設(shè)材料模型為：

則拓撲優(yōu)化模型為：

式中：ρ0和E0分別是均質(zhì)實體的密度和彈性，xe是單元的相對密度，p是懲罰因子；U、F是分別是位移矢量、力矢量，K是總體剛度矩陣，Ue是單元位移矢量，Ke是單元剛度矩陣，N是單元總數(shù)，f是體積系數(shù)。
優(yōu)化時以單元的相對密度xe為拓撲設(shè)計變量，這樣結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題被轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。
3. 進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法( evolutionary structural optimization)

進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化法是由Xie和Steven提出的，其起源于應力設(shè)計技術(shù)，認為在設(shè)計域內(nèi)，在結(jié)構(gòu)上不起作用的材料，即那些低應力或低應變能量密度的材料是低效的，可以去除的。材料的去除可以通過改變作為應力或應變能量密度函數(shù)的彈性模量或直接刪去那些低應力或低應變能量密度的材料空間。通過將無效或低效的材料一步步去掉，剩下的結(jié)構(gòu)將逐漸趨于優(yōu)化。

進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法是一種能夠同時刪除和增加材料的進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，即在刪除低效材料的同時增補高應力區(qū)域周圍材料，初始設(shè)計的區(qū)域可以比較小，從而提高了計算的效率。
拓撲優(yōu)化的求解方法

• 優(yōu)化準則法(optimality criteria)
• 序列線性規(guī)劃法(SLP：sequential linear programming)
• 移動漸進線法(MMA：method of moving asymptotes)
  

拓撲優(yōu)化中的數(shù)值不穩(wěn)定問題(1) 棋盤格式問題：所謂棋盤格式,是指優(yōu)化過程中材質(zhì)密度周期性高低分布的一種現(xiàn)象。
(2) 網(wǎng)格依賴性問題：網(wǎng)格依賴性是指隨著結(jié)構(gòu)所劃分的單元的數(shù)量改變，所得的優(yōu)化結(jié)果也跟著變化，即經(jīng)常出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)拓撲不具有唯一性。
(3) 局部極值問題：當選取不同初值時，可能導致其優(yōu)化結(jié)果收斂于不同的局部極值點。

本文來源網(wǎng)絡，作者彼岸花